用数学归纳法证明任意两个正整数相等

xiaoee posted @ 2009年2月08日 05:30 in Mathematics with tags fun 数学归纳法 , 3678 阅读

首先证明A(n):a,b是使max(a,b)=n成立的任意两个正整数,则a=b.

证明:a)假设A(r)成立;设a,b是任意两个使得max(a,b)=r+1的正整数。

考虑两个整数$$\{^{a_0=a-1}_{b_0=b-1}$$, $max(a_0,b_0)=r$,又由于我们假设A(r)成立,

因此 $a_0=b_0$,由此知$a=b$。因此A(r+1)成立。

b)A(1)显然成立。因为如果max(a,b)=1成立,则由于a,b假设是正整数,则 $a=b=1$。因此按数学归纳法A(n)对所有的正整数成立。

max(1,2)=2,所以1=2.

 

这样就可以得出任意两个正整数相等了。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

事实上数学归纳法的两个要点是:

a)对任一正整数r,$A_r$为真时能推出$A_{r+1}$也为真;

b)已知$A_1$为真。

在用数学归纳法时,我们必须经常确保条件a)和b)是真正被满足的。

上面错误的原因是$$\{^{a_0=a-1}_{b_0=b-1}$$,$a_0,b_0$可能已经不是正整数了,不满足a)。


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