今天翻看以前的日记，看到几个月前发现的一个斐波那契数列的递推公式：
(公式二）
在这里Fibonacci数列为从0开始的这样一个序列：1，1，2，3，5，8，13，21 . . .，满足
，n>0;
记得当时是在晚上睡觉的时候在想怎么把递归程序转换成非递归程序的时候，想到Fibonacci数列，然后就想到上面那个公式的。
看到这个公式，还真不知道当时是怎么想出来的，于是把以前的草稿纸都翻了一下，才终于找到怎么推导出来的（看来有了想法一定要记录下来才行啊），如下：
在提出「生成函数」的数学定义之前，我们先考虑几个简单的排列组合问题。(不知道怎么回事，发表这篇文章首页显示会有问题，搞了好久没找到问题，于是清空重新输入了一遍，并把所有公式都去掉了，用文本代替，首页显示终于没问题了，可能公式就得你费力看了）。
考虑恒等式：(1+ax)(1+bx)(1+cx)=1+(a+b+c)x+(ab+bc+ac)x^2+abcx^3
如将a,b,c 看作代表三个对象，它的右边是一多项式，其系数恰代表了将 a,b,c 作组合的各种可能。常数项1表示在三对象中一个都不取；x 的系数a+b+c 表示在a,b,c 中取一个的各种组合，即或取a，或取b，或取 c；x^2 的系数ab+bc+ac 表取二个的各种组合；x^3之系数表示了三个皆取的唯一方法。在这里可能产生各种情形是用+号连接，同时发生之事件则用乘法（即符号并列）表示。
又设有5个球 a,a,a,b,c，其中三个球a 完全一样，则恒等式：
(1+ax+a^2x^2+a^3x^3)(1+bx)(1+cx)= 1+(a+b+c) x+(a^2+a b+a c+b c) x^2+(a^3+a^2 b+a^2c+
a b c) x^3+(a^3 b+a^3 c+a^2 b c) x^4+a^3 b c x^5
其中 x^r的系数表示了选取r个的各种可能组合(1<=r<=5 )。
在排列组合问题中，加法原则与乘法原则是大家熟知的两个法则。加法原则是讲如一事件可能发生情况有 m 种，另一种事件可能发生情况有 n 种，则这两种事件其一发生情况有m+n 种。乘法原则是讲如一事件可能发生情况有m种，另一事件可能发生情况有n种，则这两事件同时发生情况有mn种。我们在上面两例用到的是一种符号运算，它遵从这两法则。在第二个例子中，因子(1+ax+a^2x^2+a^3x^3)表示了或不取a，或取一个a，或取2个a，或取三个a 的各种情况；而在第一个例子中，(1+ax)(1+bx)表示了如果 a , b 被允许同时选取时可能产生之各种情况。
