Apr 18

井字游戏,英文名是tic-tac-toe,最原始是游戏是在一个3*3的方格棋盘中,每人轮流下看谁先连成横竖或斜着一条线就算赢了,我们把种线叫做tic-tac-toe线,可以在这里http://allaboutfrogs.org/funstuff/java/tictactoe/玩一下这个游戏。现在我们问的是如果是在一个n*n*n的立方体中玩这个游戏,有多少种tic-tac-toe线?比如对于3*3*3的方块,横竖的情况有27种,在面上斜对角的情况有18种,体对角的情况有4种,所以一共有27+18+4=49种。

解答_证明:

其实直接用上面这种分情况的方法就可以求出来了。先看横竖的情况,考虑相对x轴平行的有n*n种,y,z轴也一样,所以有3*n*n种;再看面对角的情况,考虑平行于xoy面的情况,有2*n种情况,yoz,zox面也一样,所以一共有3*2*n种情况;体对角的情况只有4种;这样总共有 3*n^2+6*n+4种情况了。

其实这是一道很简单的题,如果用上面的常规做法显然没什么意思,下面看一个另类的做法:

考虑边长为n+2的立方体,它中间就是边长为n的立方体了,我们把除了里面的n*n*n立方体外的部分叫做外壳。这样当把内部立方体的 tic-tac-toe线扩展之后,会外壳交于一对方块;反过来,外壳上的每和方格和它正对面的方格形成的tic-tac-toe线将穿过内部n*n*n 立方体。所以我们就知道了,我们要求的线的数目就等于外壳上方块的数目,也就是((n+2)^3-n^3)/2=3*n^2+6*n+4

Apr 8

找出方程(6x - 1)(3x - 1)(2x - 1) = 4 的实根。

 

解答:                                         令y=6x,则方程变成:

           

(y - 1)(y/2 - 1)(y/3 - 1) = 4

                                                                              或者:

(y - 1)(y - 2)(y - 3) = 2*3*4

    很明显上面方程的唯一实根就是y=5,所以x=y/6=5/6。

    这样一来,我们可以反过来构造许多这样的方程了。