Apr 10

找出一个10位数,使它的第i位(从左到右数,最左边为第0位)上的数等于i在整个数中出现的次数。比如,8000000010,它有8个0,1个8,但不它不该有1。
 
解答:
  
  如果第0是9,其它的9个位就都必须是0了,所以这种情况不行。
    如果第0位上是8,那么其它9个位有一个不是0,很明显,每8位必须有个1,但是这样的话,每一位得有个1,0就不是8个了。所以这种情况也不行。
    如果每0位上是7,这样第7位上需要一个1,所以第一位要一个1,这样就有两个1了,所以第一位要一个2,这样第2位就必须是1了,所有数字的和超过10了。
    让我们试试把6放在第0位,这样第6位需要一个1,还是一样第一位要一个1,这样就得到两个1,所以我们放个2在第一位,再在第2位放上1,这样就OK了。
    所以我们要是数就是:6210001000。

Apr 8

找出方程(6x - 1)(3x - 1)(2x - 1) = 4 的实根。

 

解答:                                         令y=6x,则方程变成:

           

(y - 1)(y/2 - 1)(y/3 - 1) = 4

                                                                              或者:

(y - 1)(y - 2)(y - 3) = 2*3*4

    很明显上面方程的唯一实根就是y=5,所以x=y/6=5/6。

    这样一来,我们可以反过来构造许多这样的方程了。

 

 

 

Apr 8

在一个大圆中,四个半径为大圆一半的小圆过圆心分布在坐标轴的x,y轴正负半轴上,如图:
 
证明小圆两两相交的面积之和(红色区域)和小圆没有覆盖的面积(绿色区域)相等?
 
先看一个外国人怎么证明的:
证明:先考虑上面图形的1/8,并给各个面积标上a,b,c,d等,如下图:
 
设R是大圆的半径,我们可以得到:
a+b+c+d=PI*R*R/8;
b+c+d+e=PI*R*R/8;
这样就得到a=e=d;8a=8d,这样就证明了。

Apr 1

找出下面和式的化简形式:
n*1+(n-1)*2+(n-2)*3+...+2*(n-1)+1*n=?
(例如:1+2+3+...+n=n(n+1)/2)
 

Mar 24

      最近突然冒出一个想法:怎样写一个程序,它可以输出自己的源代码?

      我们都写过这个程序:

#include<stdio.h>
main() { printf("Hello, world");}

      它会输出:

Hello, world

      于是很自然地,要写出一个输出自己的程序,可以尝试这样写:

#include<stdio.h>
main() { printf("#include<stdio.h>\nmain() { printf(\"#include<stdio.h>\n main() { ...\") } ");}

      它会输出:

#include<stdio.h>
main() { printf("#include<stdio.h>
main() { ..."
) }

      你可以继续这样写下去,但你会发现自己已经陷入死循环了,写到printf那就得返回去加上一段。显然像上面这样是做不到的。是不是说这样的程序就不存在呢?答案是否定的,不仅写得出来,而且各种各样,五花八门的都有。

Mar 21
埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用分子为1的分数,例如用1/2+1/3表示5/6,用1/4+1/7+1/28表示3/7。
现有100个埃及分数1/2,1/3,1/4,...,1/99,1/100,1/101。请你从中挑出10个使它们的和为1。
 
 
解答:如果你随便试试,那肯定是很难找出来的,想到了就很简单,可以这样做:
           1=1-1/2+1/2-1/3+1/3-...+1/9-1/10+1/10
             =(1-1/2)+(1/2-1/3)+...(1/9-1/10)+1/10
             =1/2+1/6+1/10+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90
          找出来了,不用1分钟吧。
Mar 6

    利用1,3,9克的砝码和一架天平,0到13克整数重量就都可以被称出来了,在下面的Flash中循环显示了这14种重量是怎样被称量的,注意在这个过程中,每一步都只增加或拿下一个砝码。

    如果再增加一个27克的砝码,则0到40克的整数重量也都可以被称出来了,存在像上面那样的41步的一个循环吗,它称出所有41种重量,而每一步都只增加或拿下一个砝码?