奇妙的数字序列

xiaoee posted @ 2009年2月08日 10:42 in Mathematics with tags 序列 小数 无限 循环 , 2853 阅读

也许你看过这样的:

$1/81=0.012345679012345679...$

但你不一定看过这样的:

$1/243 = 0.004115226337448559...$

这个系列会怎样继续?243这个数学有什么特别呢?(你可以把它因式分解看看)是什么原因造成这样

的序列的?在其它的基底下有和这个相似的数吗?1/243=0.00411522633744855967078189300411...这样循环下去。

有理数是形如$\frac{p}{q}$(其中p,q为整数,q不等于0)的数,它们都可以表示成无限循环小数。

比如:$\frac{1}{2}=0.5000...$

      $\frac{1}{3}=0.3333...$

        $\frac{1}{7}=0.1428571428571...$

为什么会这样呢?

想想我们做竖式除法的过程,在这过程上每次必有一个非零的余数,否则这进位小数是有限的,可以
表示成无限0循环。并且这所有的余数将是1和q-1之间的整数,所以最多最多只能有q-1个不同的余数
值,这意味着,最多除q次,某个余数k将第二次出现。但由此随后而来的所有余数,将按照余数k第一
次出现后它们出现的同样次序重复。
 
那怎样确定无限循环小数所对应的分数形式呢?
 
一般的我们是把那个小数表示成某个常数和无穷等比级数的和:
比如:$x=0.312121212...$
我们有$x=\frac{3}{10}+10^{-3}*12(1+10^{-2}+10^{-4}+...)$
         $=\frac{3}{10}+10^{-3}*12*\frac{1}{1-\frac{1}{10^2}}$
         $=\frac{103}{330}$
 
另外一种方法是这样的:$x=0.312121212...$
                      $100x=31.2121212...
                                 $=31-0.1+0.312121212...
                                 $=30.9+x
                     从而 $x=\frac{30.9}{99}
                                $=\frac{103}{330}$
 
用上面的任一种方法都容易证明:1=0.99999999999...
                       这样: $\frac{1}{2}=0.4999999999...$

最后我们发现数142857有如下性质:用数2,3,4,5,6中的任一个去乘它,所得的积只是它的数码的重新排列。

你可以试着用$\frac{1}{7}$的十进位小数展开式来解释

参考:《什么是数学》

      http://thinkzone.wlonk.com/MathFun/MathFun.htm

  • 无匹配

登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter