超球面和超球体

xiaoee posted @ 2009年2月10日 11:59 in Mathematics with tags 高维空间维度体积面积 , 10540 阅读

n维超立方体的体积很简单，即边s的n次方： $s^n 。

那n维超球的体积又是怎么样的呢？

首先，我们定义一些概念。圆周是2维圆盘的1维边界（界限）。球面是3维球体的2维表面（界限）。超球面（n维球面）和超球（n维球体）可以有不同的维数。普通的球面是2维球面。普通球体是3维球体。圆周也可以被称为1维球面。圆盘也可以被叫作2维球体。

n维容量是几何形体的n维“体积”。比如：

圆周的1维容量是它的周长，

圆盘的2维容量是它的面积，

球面（2维）的2维容量是它的表面积，

球体（3维）的3维容量是它的体积，

3维超球面的3维容量是它的超表面积，

4维超球体的4维容量是它的4维超体积。

下面的表格显示出不同维度的超球体的n维容量（体积）和它们对应的超球面的边界（n-1维）容量（超表面积）：

很奇怪，为什么每次维数增加2，π的指数才增加1？

一般的，n维超球体的n维容量（“体积”）是：