超球面和超球体

xiaoee posted @ 2009年2月10日 11:59 in Mathematics with tags 高维 空间 维度 体积 面积 , 10546 阅读

n维超立方体的体积很简单,即边s的n次方$s^n

 

那n维超球的体积又是怎么样的呢?

 

首先,我们定义一些概念。圆周是2维圆盘的1维边界(界限)。球面是3维球体的2维表面(界限)。超球面(n维球面)和超球(n维球体)可以有不同的维数。普通的球面是2维球面。普通球体是3维球体。圆周也可以被称为1维球面。圆盘也可以被叫作2维球体。

 

n维容量是几何形体的n维“体积”。比如:

圆周的1维容量是它的周长,

圆盘的2维容量是它的面积,

球面(2维)的2维容量是它的表面积,

球体(3维)的3维容量是它的体积,

3维超球面的3维容量是它的超表面积,

4维超球体的4维容量是它的4维超体积。

下面的表格显示出不同维度的超球体的n维容量(体积)和它们对应的超球面的边界(n-1维)容量(超表面积):

维度 (n)

整体形

整体形n维容量(“体积”)

边界形

边界形n-1维容量(“表面积”)

2

圆盘 (2)

π r2

圆周 (1)

2π r

3

球体 (3)

(4/3)π r3

球面 (2)

4π r2

4

4维超球体

(1/2)π2r4

3维超球面

2r3

5

5维超球体

(8/15)π2r5

4维超球面

(8/3)π2r4

6

6维超球体

(1/6)π3r6

5维超球面

π3r5

7

7维球体

(16/105)π3r7

6维球面

(16/15)π3r6

 

很奇怪,为什么每次维数增加2,π的指数才增加1?

一般的,n维超球体的n维容量(“体积)是:

 

当n为偶数:

 $$\frac{1}{(n/2)!}\pi^{n/2}r^n$$

当n为奇数:

 $\frac{2^n((n-1)/2)!}{n!}\pi^{(n-1)/2}r^n
   Or $\frac{2^{(n+1)/2}}{n!!}\pi^{(n-1)/2}r^n

 

这里n! = n(n-1)(n-2)... (阶乘)n!! = n(n-2)(n-4)... (双阶乘)

一般的,n维超球体的边界表面积(n-1维容量)等于“体积”(n维容量)乘以(n/r)。其实你可以通过n维超球的“体积”(n维容量)对半径求导数得到它的超表面积(n-1维容量)。同样对n维超球对应的边界形的表面积(n-1维容量)对r在(0,r)上求积分可以得到n维超球的体积。

 

 来源:http://thinkzone.wlonk.com/MathFun/Dimens.htm

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