祖冲之的密率355/113的精妙

xiaoee posted @ 2009年2月12日 06:00 in Mathematics with tags 圆周率 PI 计算 小数 初等 近似 , 11615 阅读

    祖冲之的密率$\frac{355}{113}，这个密率的妙处，在于它的分母不大而精确度很高？在所有分母不超过113的分数当中，和$\pi最接近的就是$\frac{355}{113}。不但如此，华罗庚在《数论导引》中用丢番图理论证明，在所有分母不超过336的分数当中，和PI最接近的还是$\frac{355}{113}。后来在夏道行教授所著《$\pi和$e》一书中，用连分数的方法证明，在所有分母不超过8000的分数当中，和$\pi最接近的仍然是$\frac{355}{113},大大改进了336这个界限。有趣的是，只用初中里学的不等式的知识，竟能把8000这个界限提高到16500以上！
根据$\pi=3.1415926535897932385...,

  $\frac{355}{113}=3.1415929203539823009...$，

可得$|\frac{355}{113}-\pi|<0.00000026677,如果有个分数$\frac{q}{p}比$\frac{355}{113}更接近$\pi，

一定会有$|\pi-\frac{q}{p}|<0.00000026677,

于是$|\frac{355}{113}-\frac{q}{p}|<2*0.00000026677,
也就是$\frac{|355p-113p|}{113p}<2*0.0000002667
因为$\frac{q}{p}不等于$\frac{355}{113},所以|355p-113q|不为0.但它是正整数，大于或等于1,

所以 $\frac{1}{113p}<2*0.00000026677
由此推出
$p>\frac{1}{113*2*0.00000026677}>16586


    这表明如果有个分数$\frac{q}{p}比$\frac{355}{113}更接近$\pi，其分母p一定大于16586.
    如此简单初等的推理得到这样好的成绩，可谓鸡刀宰牛。

    事实上以上得到界限已经快到极限了，下面是我用Mathematica计算的代码和结果：

For[i = 16500, i < 16650, i++,
 For[j = Ceiling[3.14159 i], j <= 3.14193 i, j++,
  If[Abs[j/i - Pi] <= 355/113 - Pi, Print[j/i], 1 == 1;]]]

   

从结果可以看出$\frac{52163}{16604}就比$\frac{355}{113}更接近$\pi，看来16603是这个极限。

 

参考来源：《进位制与数学游戏》

            《好玩的数学系列》

 

 

 

Small_feed 评论 (2)
1
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獨立的圓 说:
2009年2月12日 11:01

你好誇張，

355 / 113 = 2.6691729323308270677 ？？？

2
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xiaoee 说:
2009年2月13日 05:47

@獨立的圓:不好意思，忘打省略了。。谢谢提醒，已改正了。


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