控制论解天平称珠游戏
天平称珠游戏就是说有一堆看起来相同的珠子，其中至多有一只珠子和其它的不同，叫做伪珠，其它的叫做真珠，真珠的颗重均相等，伪珠的颗重与真珠不同。问你至少要用天平称几次，才能知道哪一颗是伪珠，它比真珠重还是轻，或是没有伪珠。解决这种问题的方法主要有3进制编码称法和关联称法。
再来说控制，这个概念与事物发展的可能性密切相关。一般将一件事的各种可能性集合称为这个事物的可能性空间；而把实行控制前和控制后的可能性空间的比值称为控制能力。即一件事控制前的可能性有M种，实行控制后可能性变成了m
再来说控制，这个概念与事物发展的可能性密切相关。一般将一件事的各种可能性集合称为这个事物的可能性空间；而把实行控制前和控制后的可能性空间的比值称为控制能力。即一件事控制前的可能性有M种，实行控制后可能性变成了m
种，那么控制能力Q＝M/m。
下面我将从控制能力这个角度来对“十二珠”游戏进行分析，看看“十二珠“游戏的关联称法是怎样被提出的。
首先，确定整个控制过程要求的控制能力。在12颗珠中，需要辨别的情况有(1+12*2)=25/*1是没有伪珠的情况，在
下面我将从控制能力这个角度来对“十二珠”游戏进行分析，看看“十二珠“游戏的关联称法是怎样被提出的。
首先，确定整个控制过程要求的控制能力。在12颗珠中，需要辨别的情况有(1+12*2)=25/*1是没有伪珠的情况，在
有伪珠的情况下，每颗珠有重轻2种情况*/种。因此，控制前总的可能性M＝25。我们的目标是从中确定一种。因此，控制后
的可能性为m＝1。这样，整个控制过程要求的控制能力为Q＝M/m＝25。
其次，考察天平每称一次的控制能力。显然，天平第称一次有3种可能性状态：平衡、左轻、右轻。天平每称一次后，这3种可能性状态就确定了，可能性变为1。因此，天平每称一次的控制能力为Q1＝3。
现在可以根据所要区分的不同情况的数量来确定使用天平的次数。显然，称两次，只能区分(3^2=)9种不同情况，不能解决问题。称3次，总控制能力为(3^3=)27，超过要求的控制能力25。因此，”十二珠“游戏用天平至少要称3次。
假设第一次称时，左盘放x颗珠，右盘放x颗珠，留下y颗珠。若天平平衡，则伪珠可能在y颗珠中，不知它比真珠轻还是重；若天平不平衡，则伪珠肯定存在于2x颗珠中，且已知其中分别有x颗”轻盘珠“和”重盘珠“。对这两种情况，都还要再称两次才能解决问题。这里x，y均为正整数，且2x+y＝12,2y+1<=3^2,2x<=3^2。解得：x＝y＝4。这样就得到了第一
其次，考察天平每称一次的控制能力。显然，天平第称一次有3种可能性状态：平衡、左轻、右轻。天平每称一次后，这3种可能性状态就确定了，可能性变为1。因此，天平每称一次的控制能力为Q1＝3。
现在可以根据所要区分的不同情况的数量来确定使用天平的次数。显然，称两次，只能区分(3^2=)9种不同情况，不能解决问题。称3次，总控制能力为(3^3=)27，超过要求的控制能力25。因此，”十二珠“游戏用天平至少要称3次。
假设第一次称时，左盘放x颗珠，右盘放x颗珠，留下y颗珠。若天平平衡，则伪珠可能在y颗珠中，不知它比真珠轻还是重；若天平不平衡，则伪珠肯定存在于2x颗珠中，且已知其中分别有x颗”轻盘珠“和”重盘珠“。对这两种情况，都还要再称两次才能解决问题。这里x，y均为正整数，且2x+y＝12,2y+1<=3^2,2x<=3^2。解得：x＝y＝4。这样就得到了第一
次称的分法。
为此，把12颗珠子编上序号：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。分成3组：1,2,3,4；5,6,7,8；9,10,11,12。第一次的称法
为此，把12颗珠子编上序号：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。分成3组：1,2,3,4；5,6,7,8；9,10,11,12。第一次的称法
如下表：
|
第一次 |
结果 | 说明 |
| 左 右 | ||
|
1 5 2 6 3 7 4 8 |
平衡 | 已经称过的1~8都是真珠，伪珠在未称过的9~12中 |
| 不平衡 | 9~12是真珠，伪珠在1~8中，且若伪珠在轻盘上，则伪珠比真珠轻；否则伪珠比真珠重 |
再分析接下来的两种情况。下面用“真”表示真珠。
(1)当第一次平衡时，伪珠在未称的9~12中。第二次称时，假设在未称过的珠中，取u颗，留v颗，同时为使符合两盘等
(1)当第一次平衡时，伪珠在未称的9~12中。第二次称时，假设在未称过的珠中，取u颗，留v颗，同时为使符合两盘等
颗原则（不等颗称出来的结果没意义），用已知的真珠补充之。这时，若天平平衡，则伪珠可能在v颗珠中，不知它是轻
是重；若天平不平衡，则伪珠肯定在u颗珠中，且在下一步的称量中可知，若伪珠在”轻盘珠“中，则伪珠比真珠轻，不
然伪珠就比真珠重。对这两种情况，还只要再称一次就可以解决问题。同样，这里的u，v为正整数，且u+v＝
4,2v+1<=3,2u<=3。解得u＝3,v＝1。这样就得到这种情况下第二次称的分法，第三次就简单了。当然就很多重称法，下
面是其中之一 ：
|
第一次称 结果 |
第二次 | 结果 | 说明 | 第三次 | 结果 | 伪 珠 |
| 左 右 | 左 右 | |||||
|
1 5 2 6 3 7 4 8 平 衡 |
9 真 10 真 11 真 |
平衡 | 12为伪珠 | 12 真 |
平衡 左轻 左重 |
无伪珠 12 轻 12 重 |
| 左轻 | 伪珠在9，10,11中且比真珠轻 |
9 10 |
平衡 左轻 左重 |
11 轻 9 轻 10 轻 |
||
| 左重 | 伪珠在9,10,11中且比真珠重 |
9 10 |
平衡 左轻 左重 |
11 重 10 重 9 重 |
(2)当第一次不平衡时，伪珠就在已经称过的1~8中。第二次称时，假设在已称过的珠中，a颗取下，b颗不动，剩下的c
颗左右互换，同时为使之符合两盘等珠原则，要用已知的真珠补充（这里最多只有9~12这四颗真珠可用）。结果有3种可
能：天平平衡，则伪珠在取下的a颗中；天平不平衡，若倾向与第一次相同，则伪珠在不动的b颗珠中，若倾向与第一次
不同，则伪珠在互换了的c颗珠中。对这3种情况，都只要再称一次就可以解决问题了。同样，a，b，c均为正整数，且
a+b+c＝8,a<=3,b<=3,c<=3。解得：（a，b，c）＝（2,3,3）＝（3,2,3）＝（3,3,2）。这3组分别代表了3类不同的第二
次称法。第三次称法在前两次的基础上，很容易解决。
下表是（2,3,3）的一种解法（只说明左轻的情况，左重是一样的）：
|
第一次称 结果 |
第二次 | 结果 | 说明 | 第三次 | 结果 | 伪 珠 |
| 左 右 | 左 右 | |||||
|
1 5 2 6 3 7 4 8 左 轻 |
1 3 2 4 5 6 称走7,8； 1,2,6不动； 3,4,5互换； |
平衡 | 伪珠在7,8中，且比真珠重 | 7 8 |
平衡 左轻 左重 |
无伪珠 8 重 7 重 |
| 左轻 | 伪珠在1,2,6中 |
1 2 |
平衡 左轻 左重 |
6 重 1 轻 2 轻 |
||
| 左重 | 伪珠在3,4,5中 |
3 4 |
平衡 左轻 左重 |
5 重 3 轻 4 轻 |
这样“12珠”问题的关联称法就出来了，在对一次称之前和之后的分析中运用控制能力的思想就可以由制约条件
得出这次的称法， 可见控制能力是相当科学和强有力的分析思想。
参考：《进位制与数学游戏》
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