还可以这样求和

xiaoee posted @ 2009年4月01日 06:41 in Mathematics with tags 数列 几何 趣题 , 2438 阅读
找出下面和式的化简形式:
n*1+(n-1)*2+(n-2)*3+...+2*(n-1)+1*n=?
(例如:1+2+3+...+n=n(n+1)/2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
解答:我们考虑一个四面体,它每条边上有n个点,包含顶点;假设它的顶点为A,B,C,D,进一步考虑平行于AB和CD的平面和它的截面:第一个就是边AB了,它包含n*1个点,第二个面包含(n-1)*2个点,第三个面包含(n-2)*3个点,继续。。。最后一个也就是CD了,包含1*n个点。像下面这个样子(n=4):
所以我们的式子就等于这个四面体所包含的点数了,这个怎么算了,很容易想到这样子:由于第i层面包含(1+2+3+...+i)=i(i+1)/2个,有n层,这样结果就是Σi(i+1)/2,根据i^2和i的求和公式就可以求出了。
但要是真像这么做了,那这篇文章就完全没意思了。
为了得到总的点数,我们为每个点标记一个三元组:(a,b,c)。a代表所在面的层数,b代表在第几条线上(但是它要从比a大的数开始),c代表在这条线上的第几个位置(也要求从比b大的数开始)。
我们以ABD面为第一层,依次为每个点标记如下:
(1,2,3)                                 
(1,2,4)  (1,3,4)                            (2,3,4)
(1,2,5)  (1,3,5)  (1,4,5)                 (2,3,5)   (2,4,5)                (3,4,5)
(1,2,6)  (1,3,6)  (1,4,6)  (1,4,7)      (2,3,6)   (2,4,6)  (2,5,6)     (3,4,6)  (3,5,6)    (4,5,6)

 

 

我们发现这正是从6个数中取3个数的所有取法。怎么看出来的,因为你随便取三个数都可以在其中找到,比如1,3,6。

这样我们的答案就是从n+2个中取3个的取法即:Cn3)=n(n+1)(n+2)/6

 


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