怎样才能发散
调和级数是指无穷级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，即取遍所有正整数n所得到的Σ1/n。虽然n趋于无穷时1/n趋于0，但这个无穷级数却是发散的。一个经典的证明是，把1/3和1/4都缩小到1/4，把1/5、1/6、1/7和1/8都缩小成1/8，把1/9到1/16这8个数全部缩小为1/16，以此类推，这样就可以得到无穷多个1/2，它们的和显然是无穷大的。
现在，让我们把所有的质数划分为若干个子集，其中质数p属于编号为floor(p/1000)的那个子集（floor()是取下整的意思）。现在，你可以用这样的方式来定义一个“部分的”调和级数：先选出一些质数集合出来，然后列出所有这样的数，它所有的质因子都落在你选的集合里。显然，这样的数有无穷多个，它们的倒数和就形成了一个部分调和级数。例如，选择编号为1和3的子集，我们可以得到一个无穷级数Σ1/n，其中n取所有这样的数，它可以表示为大于等于1000小于3000的质数的乘积。
答案或许会出乎你的意料：无穷多个。为了使所得的无穷级数发散，你必需选择无穷多个集合。事实上，任意选出有限个质数，由它们生成的所有数的倒数之和都是收敛的。
首先注意到，对取出的所有质数p，分别算出p/(p-1)的值，然后把所有的p/(p-1)累乘起来（即Πp/(p-1)，p取遍选出的每个质数），最后的结果应当是有限的。而p/(p-1) = 1 + 1/p + 1/p^2 + 1/p^3 + ...（由组合原理，可以参考生成函数简介），对于不同的p值，把p/(p-1)乘起来就相当于把等号右边的无穷级数乘起来，而将这些无穷级数的乘积展开来，得到的无穷级数正是由所选的质数所生成的部分调和级数。
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